∣ sembolü bir sayının bir sayıyı tam böldüğünü ifade etmek amacıyla kullanılır.
∤ sembolü bir sayının bir sayıyı kalanlı böldüğünü ifade etmek amacıyla kullanılır.
a∣b: a sayısı b sayısını tam bölüyor veya b sayısı a sayısına tam bölünüyor.
a∤b: a sayısı b sayısını tam bölmüyor veya b sayısı a sayısına tam bölünmüyor.
7 Sayısına Tam Bölünme Kuralı (B = 7)
A sayısının birler basamağından başlayarak sola doğru her basamağın altına
sırasıyla +1,+3,+2,-1,-3,-2,+1,+3,+2,... sayıları yazılır. Her basamak kendisinin altındaki sayı ile çarpılır ve tüm
çarpımlar toplanır. Toplam 0 veya 7'nin katı çıkıyorsa A sayısı 7'ye tam bölünür.
$$ A = 7C$$
A sayısı abcde şeklinde 5 basamaklı bir sayı olsun.
$$ \left[\begin{array}{1r1r1r1r1r}
a & b & c & d & e \\
-3 & -1 & +2 & +3 & +1
\end{array}\right]$$
$$ \begin{align}
&t = e + 3d + 2c - b - 3a
\end{align}$$
$$ \begin{align}
&7 \mid t \Rightarrow 7 \mid A
\end{align}$$
A sayısının birler basamağında 0 varsa A sayısı 10'a tam bölünür.
$$ A = 10C$$
Eşitliğin sağ tarafındaki sayının birler basamağında kesinlikle 0 vardır. Dolayısıyla bu eşitliğin sağlanabilmesi için sol tarafın yani A sayısının da birler basamağında 0 olması gerekir.
Örnek:
$$ \begin{array}{1c1l}
\text{(I)} & A = 1.23\color{red}6 \:\:\: \color{red} \unicode{x2718} \\
\text{(II)} & A = 817.05\color{red}0 \:\:\: \color{green} \unicode{x2714} \\
\text{(III)} & A = 13\color{red}3 \:\:\: \color{red} \unicode{x2718}
\end{array}$$
11 Sayısına Tam Bölünme Kuralı (B = 11)
A sayısının birler basamağından başlayarak sola doğru her basamağın altına
sırasıyla +1,-1,+1,-1,+1,-1,... sayıları yazılır. Her basamak kendisinin altındaki sayı ile çarpılır ve tüm
çarpımlar toplanır. Toplam 0 veya 11'in katı çıkıyorsa A sayısı 11'e tam bölünür.
$$ A = 11C$$
A sayısı abcde şeklinde 5 basamaklı bir sayı olsun.
$$ \left[\begin{array}{1r1r1r1r1r}
a & b & c & d & e \\
+1 & -1 & +1 & -1 & +1
\end{array}\right]$$
$$ \begin{align}
&t = e - d + c - b + a
\end{align}$$
$$ \begin{align}
&11 \mid t \Rightarrow 11 \mid A
\end{align}$$
11'den sonrası için de bazı tam bölünebilme kuralları mevcut ancak pek pratik kurallar olmadığı için üzerinden
geçmeye gerek duymadım. O kuralları uygulamak yerine direkt bölme işlemini yapmak çok daha hızlı sonuç verebiliyor. Ancak
şunu da belirtmek gerekiyor. Şu ana kadar öğrendiğimiz kuralları birlikte kullanarak, daha büyük sayılara tam
bölünme kurallarını kendimiz oluşturabiliriz. Bir sayı aralarında asal olan sayılara teker teker kalansız bölünüyorsa,
bu sayı aralarında asal olan sayıların çarpımına da kalansız bölünür. Şöyle ki;
Bir sayı hem 2'ye hem de 7'ye tam bölünüyorsa, bu sayı aynı zamanda 14'e tam bölünür.
Bir sayı hem 3'e hem de 5'e tam bölünüyorsa, bu sayı aynı zamanda 15'e tam bölünür.
Bir sayı hem 3'e hem de 7'ye tam bölünüyorsa, bu sayı aynı zamanda 21'e tam bölünür.
Bir sayı hem 2'ye hem de 9'a tam bölünüyorsa, bu sayı aynı zamanda 18'e tam bölünür.
Bölme İşleminde Kalan Hesaplama Teknikleri.
Bir sayının 2'ye bölümünden kalanı hesaplama. (B = 2, K = ?)
A sayısının 2'ye bölümünden kalan A sayısının tek veya çift olmasına bağlıdır. A sayısı tek ise kalan 1, çift ise kalan 0 çıkar.
$$ A = 2C + K$$
K sayısı 2'den küçük bir doğal sayıdır. Bu durumda 0 ve 1 olabilir. Eğer 0 ise bu durumda eşitliğin sağ tarafı çift sayı olacaktır. Eşitliğin sağlanabilmesi için
A sayısının da çift sayı olması gerekir. Eğer kalan 1 ise bu durumda eşitliğin sağ tarafı tek sayı olacaktır. Eşitliğin sağlanabilmesi için
A sayısının da tek sayı olması gerekir.
Örnek:
$$ \begin{array}{1c1l}
\text{(I)} & A = 1.236 \Rightarrow K = 0 \\
\text{(II)} & A = 817.050 \Rightarrow K = 0 \\
\text{(III)} & A = 133 \Rightarrow K = 1
\end{array}$$
Bir sayının 3'e bölümünden kalanı hesaplama. (B = 3, K = ?)
A sayısının rakamları toplanır ve 3'e bölünür. Elde edilen kalan A sayısının 3'e bölümünden elde edilen kalan ile aynıdır.
Bir sayının 4'e bölümünden kalanı hesaplama. (B = 4, K = ?)
A sayısının son iki hanesinin 4'e bölümünden elde edilen kalan ile A sayısının 4'e bölümünden elde edilen kalan aynıdır.
$$ A = 4C + K$$
Örnek:
$$ \begin{array}{1c1l}
\text{(I)} & A = 1.2\color{red}38 \\
& \Rightarrow 38 = 4 \times 9 + K \\
& \Rightarrow K = 2 \\
\text{(II)} & A = 6\color{red}40 \\
& \Rightarrow 40 = 4 \times 10 + K \\
& \Rightarrow K = 0 \\
\text{(III)} & A = 1\color{red}23 \\
& \Rightarrow 23 = 4 \times 5 + K \\
& \Rightarrow K = 3
\end{array}$$
Bir sayının 5'e bölümünden kalanı hesaplama. (B = 5, K = ?)
A sayısının birler basamağındaki rakamın 5'e bölümünden kalan ile A sayısının 5'e bölümünden elde edilen kalan aynıdır.
$$ A = 5C + K$$
Örnek:
$$ \begin{array}{1c1l}
\text{(I)} & A = 1.23\color{red}8 \\
& \Rightarrow 8 = 5 \times 1 + K \\
& \Rightarrow K = 3 \\
\text{(II)} & A = 64\color{red}0 \\
& \Rightarrow 0 = 5 \times 0 + K \\
& \Rightarrow K = 0 \\
\text{(III)} & A = 12\color{red}3 \\
& \Rightarrow 3 = 5 \times 0 + K \\
& \Rightarrow K = 3
\end{array}$$
Bir sayının 6'ya bölümünden kalanı hesaplama. (B = 6, K = ?)
Öncelikle A sayısının 2 ve 3 sayıları ile bölümünden elde edilen kalanlar bulunur. Daha sonra kendimize şu soruyu
sorarız. 6'dan küçük ve 2 ile 3'e bölündüğünde o kalanları veren sayı ne olabilir? Bu sorunun yanıtı bize A
sayısının 6 ile bölümünden kalanı verir.
$$ A = 6C + K$$
Örnek:
Sayı
2 ile bölümden kalan
3 ile bölümden kalan
6 ile bölümden kalan
169
1
1
1
12.137
1
2
5
631.124
0
2
2
Bir sayının 15'e bölümünden kalanı hesaplama. (B = 15, K = ?)
Öncelikle A sayısının 3 ve 5 sayıları ile bölümünden elde edilen kalanlar bulunur. Daha sonra kendimize şu soruyu
sorarız. 15'ten küçük ve 3 ile 5'e bölündüğünde o kalanları veren sayı ne olabilir? Bu sorunun yanıtı bize A
sayısının 15 ile bölümünden kalanı verir.
$$ A = 15C + K$$
Örnek:
Sayı
3 ile bölümden kalan
5 ile bölümden kalan
15 ile bölümden kalan
169
1
4
4
12.137
2
2
2
632.124
0
4
9
Bir sayının 18'e bölümünden kalanı hesaplama. (B = 18, K = ?)
Öncelikle A sayısının 2 ve 9 sayıları ile bölümünden elde edilen kalanlar bulunur. Daha sonra kendimize şu soruyu
sorarız. 18'den küçük ve 2 ile 9'a bölündüğünde o kalanları veren sayı ne olabilir? Bu sorunun yanıtı bize A
sayısının 18 ile bölümünden kalanı verir.
$$ A = 18C + K$$
Örnek:
Sayı
2 ile bölümden kalan
9 ile bölümden kalan
18 ile bölümden kalan
169
1
7
7
12.137
1
5
5
632.123
1
8
1
7 veya 11 sayılarına bölümde kalan bulma (B = 7 veya B = 11)
Tam bölünme kurallarında uyguladığımız yöntemleri takip ederiz. Çarpımların toplamı X olsun. X pozitif ise X'i B sayısına
bölerek kalanı buluruz. X negatif ise mutlak değer X'den büyük en küçük pozitif B'nin katı bulunur ve X
sayısı ile toplanır. Elde edilen sonuç B sayısına bölümden kalanı verir.
abc sayısı 15'e tam bölünüyorsa ayrı ayrı 3'e ve 5'e tam bölünüyor demektir. Şimdi bu durumları ayrı ayrı inceleyip
akabinde bu durumların kesişim kümesine bakmamız gerekir.
Durum 1 (5'e tam bölünme durumu)
abc sayısı 5'e tam bölünüyorsa c rakamı 0 veya 5 olabilir.
Durum 2 (3'e tam bölünme durumu)
abc sayısı 3'e tam bölünüyorsa a,b,c rakamlarının toplamı 3'ün katı olması gerekir.
c = 0
$$ \begin{align}
&a + b = 3k \:\wedge\: k \in \mathbb{N} \\
&a = 1 \Rightarrow b = \{2,5,8\} \\
&a = 2 \Rightarrow b = \{1,4,7\} \\
&a = 3 \Rightarrow b = \{\cancel{0},\cancel{3},6,9\} \\
&a = 4 \Rightarrow b = \{2,5,8\} \\
&a = 5 \Rightarrow b = \{1,4,7\} \\
&a = 6 \Rightarrow b = \{\cancel{0},3,\cancel{6},9\} \\
&a = 7 \Rightarrow b = \{2,5,8\} \\
&a = 8 \Rightarrow b = \{1,4,7\} \\
&a = 9 \Rightarrow b = \{\cancel{0},3,6,\cancel{9}\}
\end{align}$$
Rakamlar birbirinden farklı olması gerektiğinden bazı seçenekleri kapsam dışı bırakıyoruz. Dolayısıyla 24 seçenek
burdan geliyor.
c = 5
$$ \begin{align}
&a + b + 5 = 3k \:\wedge\: k \in \mathbb{N} \\
&a = 1 \Rightarrow b = \{0,3,6,9\} \\
&a = 2 \Rightarrow b = \{\cancel{2},\cancel{5},8\} \\
&a = 3 \Rightarrow b = \{1,4,7\} \\
&a = 4 \Rightarrow b = \{0,3,6,9\} \\
&a = \cancel{5} \\
&a = 6 \Rightarrow b = \{1,4,7\} \\
&a = 7 \Rightarrow b = \{0,3,6,9\} \\
&a = 8 \Rightarrow b = \{2,\cancel{5},\cancel{8}\} \\
&a = 9 \Rightarrow b = \{1,4,7\}
\end{align}$$
Rakamlar birbirinden farklı olması gerektiğinden bazı seçenekleri kapsam dışı bırakıyoruz. Dolayısıyla 23 seçenek
burdan geliyor.
Sonuç olarak rakamları birbirinden farklı ve 15'e tam bölünebilen 47 farklı abc sayısı yazılabilir.
Soru 2:
A6C rakamları birbirinden farklı üç basamaklı bir sayı olsun. Bu sayı 18 ile
kalansız bölünebiliyorsa A+C toplamı kaç farklı değer alabilir ?
A6C sayısı 18'e tam bölünüyorsa ayrı ayrı 2'ye ve 9'a tam bölünüyor demektir. Şimdi bu durumları ayrı ayrı inceleyip
akabinde bu durumların kesişim kümesine bakmamız gerekir.
Durum 1 (2'ye tam bölünme durumu)
A6C sayısı 2'ye tam bölünüyorsa C rakamı 0,2,4,6,8 olabilir.
Durum 2 (9'a tam bölünme durumu)
A6C sayısı 9'a tam bölünüyorsa A+6+C işleminin sonucu 9'un katı olması gerekir.
C = 0
$$ \begin{align}
&A + 6 = 9k \:\wedge\: k \in \mathbb{N} \\
&\Rightarrow A = \{3\}
\end{align}$$
Buradan sadece 1 seçenek geliyor.
C = 2
$$ \begin{align}
&A + 8 = 9k \:\wedge\: k \in \mathbb{N} \\
&\Rightarrow A = \{1\}
\end{align}$$
Buradan sadece 1 seçenek geliyor.
C = 4
$$ \begin{align}
&A + 10 = 9k \:\wedge\: k \in \mathbb{N} \\
&\Rightarrow A = \{8\}
\end{align}$$
Buradan sadece 1 seçenek geliyor.
C = 6
Rakamların tekrar etmemesi istendiğinden buradan seçenek gelmiyor.
C = 8
$$ \begin{align}
&A + 14 = 9k \:\wedge\: k \in \mathbb{N} \\
&\Rightarrow A = \{4\}
\end{align}$$
Buradan sadece 1 seçenek geliyor.
Bu durumda A+C toplamı 3 veya 12 çıkıyor. Sonuç olarak 2 farklı değer alabiliyor.
Soru 3:
Dört basamaklı bir sayının 15 ile bölümünden kalan 8 ise, bu sayının
6 ile bölümünden elde edilebilecek kalanların toplamı kaçtır ?
abcd sayımızın 3 ile bölümünden kalan 2 çıkmaktadır. Çünkü 15k sayısı 3'e tam bölünür. Kalan sadece 8'den
gelmektedir. Yani 8'in 3 ile bölümünden kalan 2 olduğu için abcd sayısının da 3 ile bölümünden kalan 2 olacaktır.
abcd sayımızın 5 ile bölümünden kalan 3 çıkmaktadır. Çünkü 15k sayısı 5'e tam bölünür. Kalan sadece 8'den
gelmektedir. Yani 8'in 5 ile bölümünden kalan 3 olduğu için abcd sayısının da 5 ile bölümünden kalan 3 olacaktır.
Bu durumda d için iki seçenek vardır. 3 veya 8 rakamlarından birine eşit olmak zorundadır.
Alternatifler
2 ile bölümden kalan
3 ile bölümden kalan
6 ile bölümden kalan
abc3
1
2
5
abc8
0
2
2
Bu durumda 5+2=7 sorumuzun cevabıdır.
Soru 4:
Yukarıda iki adet bölme işlemi verilmiştir. Buna göre A sayısının 18 ile
bölümünden elde edilecek kalan kaçtır ?
A sayımız iki parçadan oluşuyor. Bu parçalardan ilki olan 36C sayısı 18'e tam bölünür. Dolayısıyla A sayısının
18 ile bölümünden gelecek kalan buradan değil, 29 sayısından gelecektir. 29 sayısını 18'e böldüğümüzde kalan 11 çıkmaktadır. Dolayısıyla
sorumuzun cevabı 11'dir.
